ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Глава вторая
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.14. РЕЗОНАНС ТОКОВ

Резонанс токов может возникнуть в параллельной цепи (см. рис. 2.17, а), одна из ветвей которой содержит L и r, а другая Си r.

Резонансом токов называется такое состояние цепи, когда общий ток совпадает по фазе с напряжением, реактивная мощность равна нулю и цепь потребляет только активную мощность. На рис. 2.17, г изображена векторная диаграмма цепи рис. 2.17, а при резонансе токов.

Как видно из векторной диаграммы, общий ток цепи совпадает по фазе с напряжением, если реактивные составляющие токов ветвей с индуктивностью и емкостью равны по модулю:

Общий реактивный ток цепи, равный разности реактивных токов ветвей, в этом случае равен нулю:

Общий ток цепи имеет только активную составляющую, равную сумме активных составляющих токов ветвей:

Выразив реактивные токи через напряжения и реактивные проводимости, получим

откуда

Итак, при резонансе токов реактивная проводимость ветви с индуктивностью равна реактивной проводимости ветви с емкостью.

Выразив bL и bС через сопротивления соответствующей ветви, можно определить резонансную частоту контура:

xL	=	xC	=	2πfL	=	1 2πfC	,
r12+ xL2		x22 + xC2		r12 + (2πfL)2		r22+ ( 1 )2 2πfC

откуда

fрез =	1	√	L/C - r12	.
	2π√LC		L/C - r22

В идеальном случае, когда r1 = r2 = 0,

fрез =	1	.
	2π√LC

При резонансе токов коэффициент мощности равен единице:

Полная мощность равна активной мощности:

Реактивная мощность равна нулю:

Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам, происходящим при резонансе напряжений, которые были подробно рассмотрены в § 2.12.

Реактивная энергия действует внутри цепи: в одну часть периода энергия магнитного поля индуктивности переходит в энергию электрического поля емкости, в следующую часть периода энергия электрического поля емкости переходит в энергию магнитного поля индуктивности. Обмена реактивной энергией между потребителями цепи и источником питания не происходит. Ток в проводах, соединяющих цепь с источником, обусловлен только активной мощностью.

Рис.  2.19.  Электрическая  цепь  (а) и  графики  зависимости   Ir, IL, IC и I от частоты f (б)

Для резонанса токов характерно, что общий ток при определенном сочетании параметров цепи может быть значительно меньше токов в каждой ветви. Например, в идеальной цепи, когда r1 = r2 = 0 (см. рис. 2.18, а), общий ток равен нулю, а токи ветвей с емкостью и индуктивностью существуют, они равны по модулю и сдвинуты по фазе на 180°. Резонанс в цепи при параллельном соединении потребителей называется резонансом токов.

Резонанс токов может быть получен путем подбора параметров цепи при заданной частоте источника питания или путем подбора частоты источника питания при заданных параметpax цепи.

Представляет интерес влияние частоты источника питания на значения токов в цепи, например в цепи, изображенной на рис. 2.19, а.

Ток  в  ветви  с индуктивностью  обратно   пропорционален частоте:

а ток в ветви с емкостью прямо пропорционален частоте:

Ток в ветви с активным сопротивлением не зависит от частоты 1:

Вектор общего тока в цепи равен геометрической сумме векторов токов ветвей:

---

1 Если пренебречь влиянием вытеснения тока к поверхности проводника.

---

а значение тока

При f = 0

При f = fрез

При f → ∞

Графики зависимости Ir, IL, IС и I от частоты изображены на рис. 2.19, б.

Большинство промышленных потребителей переменного тока имеют активноиндуктивный характер; некоторые из них работают с низким коэффициентом мощности и, следовательно, потребляют значительную реактивную мощность. К таким потребителям относятся асинхронные двигатели, особенно работающие с неполной нагрузкой, установки электрической сварки, высокочастотной закалки и т. д.

Для уменьшения реактивной мощности и повышения коэффициента мощности параллельно потребителю включают батарею конденсаторов.

Реактивная мощность конденсаторной батареи уменьшает общую реактивную мощность установки, так как

и тем самым увеличивает коэффициент мощности.

Повышение коэффициента мощности приводит к уменьшению тока в проводах, соединяющих потребитель с источником энергии, и полной мощности источника.

Рис. 2.20. Электрическая цепь к примеру 2.5

Пример 2.5. Определить емкость конденсатора, при которой в цепи рис. 2.20 возникает резонанс токов, если xL = 40 Ом,
r1 = 30 Ом, r2 = 28 Ом, f = 1000 Гц.

Решение. При резонансе токов реактивная мощность цепи равна нулю:

QL = I12xL =	U2	xL, QС = I22xC =	U2	xC;
	r12 + xL2		r22 + xC2

U2	40 =	U2	xC,  xC = 17,75 Ом.
302 + 402		282 + xC2

Емкость конденсатора

xC =	1	;
	2πfC

C =	1	=	1•106	= 9 мкф.
	2πfxC		2•3,14•1000•17,75