ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Глава четвертая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

4.9. РАЗРЯД КОНДЕНСАТОРА НА КАТУШКУ С r, L

Допустим, что конденсатор С (рис. 4.9, a) был включен а сеть постоянного тока  и, следовательно, заряжен   до   напряжения   сети   U.

После переключения выключателя из положения а в положение б конденсатор окажется замкнутым на цепочку r, L. Под действием напряжения на конденсаторе uC в цепи возникнет ток и конденсатор начнет разряжаться. Уравнение цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид

Выразив в (4.49) e через ток и индуктивность

а uC — через ток и емкость

i = - С	duC	, duC = -	i dt	,   uC = -	1	∫i dt,
	dt		C		C

получим

-L	di	- ir -	1	∫i dt = 0.
	dt		C

Рис.4.9. Зависимости i(t) при апериоди- ческом (б) и коле- бательном (в) раз- рядах конденсато- ра на сопротивле- ние r и индук ти-вность L цепи (a)

Взяв производную от левой и правой частей уравнения, получим дифференциальное уравнение второго порядка без правой части

Решением дифференциального уравнении является выражение

Корнями характеристического уравнения р2 +	r	р +	1	= 0 будут
	L		CL

p1.2 = -	r	±	√	(	r	)2	-	1	.
	2L				2L			CL

Обозначив r/2L = β и 1/LC = ω02, получим

Значения A1 и A2 определяют из начальных условий с помощью первого и второго законов коммутации.

По первому закону коммутации при t = 0+ i = 0 и из (4.51) вытекает,

По второму закону коммутации при t = 0+

Таким образом, в первый момент после замыкания цепи, как следует из (4.49), ЭДС равна  
- U, так как ir = 0.

откуда Производная тока по времени из выражения (4.51) будет равна

При t = 0+

Из совместного решения (4.52) и (4.53) получим

А1 =	U	= - А2.
	L(р1 - р2)

Выразим р1 и р2 через β и γ:

А1 =	U	, А2 = -	U	.
	2Lγ		2Lγ

Следовательно, выражение для тока в переходный период будет иметь вид

Характер переходного процесса зависит от соотношения параметров r, L, С цепи и определяется корнями характеристического уравнения.

При 1/CL < (r/2L)2 корни будут действительными:

и переходный процесс будет иметь апериодический характер:

i =	U	e(- β + γ)t -	U	e- (β + γ)t = i' + i".
	2Lγ		2Lγ

Графики тока для этого случая изображены на рис. 4.9, б. При (r/2L)2 < 1/LC корни  характеристического уравнения  оказываются комплексными сопряженными:

где β = r/2L; ω = √l/LC - (r/2L)2.

Значения А1 и А2 в этом случае будут равны

А1 =	U	, А2 = -	U	.
	2jωL		2jωL

Подставив значения p1, p2 и А1, А2 в (4.51), получим

i =	U	[e(- β + jω)t - e(- β - jω)t] -	U	[ejωt - e-jωt]е-βt =
	2jωL		2jωL

На рис. 4.9, в изображен график i(t).Ток изменяется по закону, представляющему собой произведение синусоиды с амплитудой UjωL на показательную функцию. В идеальном случае, когда r = 0, возникнут синусоидальные колебания с неизменной амплитудой.

Действительно, при r = 0, β = 0, ω = ω0 ток

а частота и период незатухающих колебаний

На рис. 4.9, в пунктирной линией изображен график незатухающих колебаний.