ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Глава четвертая
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

4.3. ПОДКЛЮЧЕНИЕ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЦЕПИ С РЕЗИСТИВНЫМ И ИНДУКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТАМИ К СЕТИ С ПОСТОЯННЫМ НАПРЯЖЕНИЕМ

После включения выключателя (рис. 4.3, а) в цепи возникает переходный процесс. Поскольку в цепи действуют три тока, не­обходимо  составить   три  уравнения   по   законам   Кирхгофа:

Совместное решение уравнений относительно тока i2 дает

e (	r1 + r	) - i2 (	r2r1 + r2r + rr1	) = -	U	.
	rr1		rr1		r

Выразив  е  через    — L di2/dt,   получим  дифференциальное уравнение

Решением дифференциального уравнения без правой части (для свободного тока) будет выражение

Рис. 4.3. Зависимости i(t), i1(t), i2(t), e(t) (б) при включении разветвленной цепи r, L (а) в сеть постоянного тока, эквивалентная относительно постоянной времени Т цепь (в)

Значение р определяют из  характеристического уравнения

L	r1 + r	p +	r2r1 + r2r + rr1	= 0	.
	rr1		rr1

p = -	r2r1 + r2r + rr1	= -	1	.
	(r1 + r)L		T

где T =	L(r1 + r)	— постоянная времени цепи.
	r2r1 + r2r + rr1

Как видно, постоянная времени цепи определяется параметрами всех ее элементов, а не только ветви с индуктивностью.

Ток i2 в переходный период будет равен

Принужденный ток определяют из выражения (4.21а), в котором при t = ∞ di2 /dt = 0 и

i2уст = I2уст =	Ur1	.
	r2r1 + r2r + rr1

Таким образом,

Значение А определяют с помощью первого закона коммутации: при t = 0 i2(0+) = i2(0-) = 0 и

Ток i2 в переходный период будет равен

Подставив в (4.21) значение тока i2 и его производную, получим выражение для тока i1:

где

I1уст =	Ur2	;     I1нач =	U	.
	r2r1 + r2r + rr1		r + r1

После подстановки i2 и i1 в (4.19) найдем выражение для тока i:

где

Iуст =	U(r1 + r2)	;     Iнач =	U	.
	r2r1 + r2r + rr1		r + r1

Выражение ЭДС е можно получить из (4.21) после подстановки в него вместо i2  и i1 их значений  из (4.23) и (4.22):

На рис. 4.3, б изображены графики токов i(t), i1(t), i2(t) и   ЭДС   e(t) при   включении   цепи   рис.   4.3, а   (при   r1 = r2).

Следует обратить внимание на то, что расчет токов вветвях разветвленных цепей с одним накопителем, например катушкой с индуктивностью L, можно значительно упростить и выполнить без составления и решения уравнений (4.19)— (4.21). Это можно сделать, если предварительно определить постоянную времени T цепи с помощью эквивалентной схемы (рис. 4.3, в). Для этого все резистивные элементы заменить одним эквивалентным относительно индуктивного элемента. Цепь, эквивалентная рис. 4.3, а, изображена на рис 4.3, в. Цепь эквивалентна только в отношении постоянной времени Т.

Эквивалентное сопротивление цени составит

rэк = r2 +	rr1	=	r2r + r2r1+ rr1	.
	r + r1		r + r1

Постоянная времени эквивалентной цепи

T =	L	=	L(r + r1)	.
	rэк		r2r + r2r1 + rr1

имеет то же значение, что и реальной.

Зная постоянную времени и определив начальные и установившиеся значения токов в ветвях, легко написать их выражения для переходного процесса в цепи. Они будут такими же, как   и   ранее   полученные   из   решения   системы   уравнений.

Пример 4.1. Определить начальные в установившиеся значения токов i, i1, i2, ЭДС е, постоянную времени и длительность переходного процесса при включении цепи рис. 4.3, а в сеть постоянного тока. Параметры  цепи: r = 2000 Ом,  r1 = r2 = 3000  Ом,   U= 200  В,  L= 0,1  Гн.

Решение. Начальные значения токов:

I2нач = 0; Iнач - I1нач =	U	=	200	= 0,04 А.
	r + r1		2000 + 3000

Начальное значение ЭДС

Установившиеся значения токов и ЭДС:

Iуст =	U		=	200		=	200	= 0,057 А;
	r +	r1r2		2000 +	3000•3000		3500
		r1 + r2			3000 + 3000

I1уст =	U - Iуст r	=	200-0,057•2000	≈ 0,0285 A;
	r1		3000

I2уст =	U - I1уст r	=	200-0,057•2000	≈ 0,0285 A;
	r2		3000

Постоянная времени контура

T =	L(r1 + r)	=	0,1(3000 + 2000)	= 2,38•10-5 с.
	r2r1 + r2r + rr1		3000•3000 + 3000•2000 + 3000•2000

Длительность переходного процесса